Moviment circular

LA BELLESA DEL MOVIMENT CIRCULAR UNIFORME

Per David Llorca

Des de ben antic s’ha intentat entendre el món a partir d’aquest moviment. Anem a repassar el recorregut històric i les principals característiques que té.

La senzillesa de la circumferència sempre ha despertat admiració entre les persones. Aquesta senzillesa es troba implícita en la seva definició: una línia corba on tots els punts equidisten d’un altre anomenat centre.

Les primeres civilitacions utilitzaven molt els cercles per fer representacions i rituals.

Però hi ha un moment crucial que canviaria la seva sort a la civilitació grega. Els grecs van deixar les consideracions rituals i es van fixar en la circumferència -i el cercle, la seva superfície- com una figura geomètrica com a tal.

Part de culpa d’això la té Plató. Ell considerava que el model d’Univers que hauríem de tenir obeïa a cercles concèntrics, en el centre dels quals es trobava la Terra. La resta de planetes i estrelles es movien segons aquests cercles concèntrics (més endavant en esferes) seguint un moviment circular uniforme. Naixia així un primer model geocèntric que, els científics i erudits van defensar durant milers d’anys.

Però què és el moviment circular uniforme?

Anem a aproximar-nos al moviment circular uniforme amb el nostre llenguatge matemàtic modern.

Suposem que un instant inicial, un punt de la perifèria, P,  es troba en una certa posició. Passat un cert instant, el radi vector r haurà descrit un cert angle θ. Per facilitar la comprensió del fenomen, obviarem el concepte de derivada. Si considerem quina és la variació d’aquest angle en aquest interval de temps obtindrem una nova magnitud física que anomenarem velocitat angular Va .

Si el ritme de variació de l’angle és constant al llarg del temps, romandrà constant i tindrem un moviment circular uniforme.

                         

Per tant, la velocitat angular serà Va = θ/t on l’angle es mesura en radians i el temps t en segons i, per tant, la velocitat angular en radians/segon.

Una idea clara del què és un moviment circular uniforme la tenim si pensem en la freqüència de rotació d’una roda. Quan diem que gira a 300 RPM vol dir que sempre farà 300 voltes en un minut. No canviarà la seva freqüència de rotació i, per tant, es tractarà d’un moviment circular uniforme.

Per què aquesta estima al moviment circular uniforme des de ben antic?

Sens dubte per la seva senzillesa i elegància. Un model en el qual els planetes i les estrelles es moguessin seguint un moviment d’aquestes característiques, implicava harmonia. El món i, en general el Cosmos, havia de funcionar segons aquesta harmonia. No oblidem que la paraula Cosmos vol dir precisament això.

Però les coses no resultaven tan fàcils com semblaven. I, a més, la naturalesa no té per què estar obligada a seguir els nostres patrons. Els planetes no seguien trajectòries circulars. Vistos des de la Terra feien moviments erràtics. Aquest és precisament l’origen etimològic de la paraula planeta.

Des de l’antiga Grècia fins a Copèrnic, ningú va discutir el sistema del món. Els astres que observem s’havien de moure seguint moviments circulars. És així com es van intentar trobar noves solucions als problema.

La més coneguda va ser la proposada per Apol·loni uns 200 anys abans de Crist. Els planetes no només descrivien un moviment circular uniforme al voltant de la Terra sinó que alhora feien un altre moviment circular lligat a aquest primer. O sigui, així:

Malgrat tot, Copèrnic va trencar amb el model del món. En paraules seves: “No dubto pas que alguns estudiosos, un cop ja estat divulgada la fama de la novetat de les hipòtesis que aquesta obra conté (De les revolucions dels orbes celestes, el llibre que va escriure), com són que la Terra es mou i que el Sol, per la seva banda, es manté immòbil al mig de l’Univers”.

Es deixava de banda el sistema geocèntric i es passava al heliocèntric. Això sí, sempre pensant en moviments circulars uniformes. I per si fos poc, quedava solucionat el problema del moviment erràtic. Poc a poc, aquest nou es va anar imposant, tot i que a alguns gairebé els hi costés la vida (com a Galileu).

El descobriment de Kepler

Kepler va ser el primer que demostraria que els planetes no giraven al voltant del Sol descrivint circumferències sinó el·lipsis. Es basà en les dades que Thico Brae havia anant recopilant feia anys. No hi havia manera d'encaixar aquestes dades amb una circumferència però si amb l'el·lipsi. S’acabava el model circular que durant tants anys havia acompanyat els models d’Univers.

Les particularitats del moviment circular.

De tots és conegut que, segons la segona llei de Newton, si un moviment és accelerat és perquè li hem aplicat una força. Si la velocitat de l’objecte és constant és perquè es troba en situació d’inèrcia i, per tant, no és alterat per cap força.

Segons això, caldria esperar que en un moviment circular uniforme no aparegués cap tipus d’acceleració i, molt menys forces. Però la veritat és que això no és pas així.

Com és possible? Com apareix l’acceleració?

Fixem-nos en el següent gràfic:

La resposta a la nostra pregunta està en el caràcter vectorial de la velocitat. El mòdul de la velocitat, efectivament, no canvia (la mida de la fletxa és el mateix). però si que ho fa la seva direcció. Si canvia la direcció de la velocitat, tenim una acceleració. Aquesta acceleració s’anomena acceleració centrípeta.

Però si apareix una acceleració, també apareixerà una força. Aquesta força s’anomenarà força centrípeta i estarà dirigida cap al centre de la circumferència.

El primer en comprendre aquesta força va ser Newton. A més, va descobrir el valor de l’acceleració:

a = v2/R  on v és la velocitat lineal de l’objecte i R el radi de la circumferència.

També va descobrir que aquesta força no apareix per sí sola. Sempre ha de ser igual a alguna altra força. Així, quan la Lluna gira al voltant de la Terra la força centrípeta és igual a la força gravitatòria i quan un cotxe passa per una corba, la força centrípeta és igual a la força de fricció.

En definitiva, tal i com veiem, el moviment circular és un moviment simple però que ens mostra moltes sorpreses.